यदि ln left( {(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} right) | vedclass

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Question

(C) दिया गया समीकरण: $\ln \left( {(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} \right) = {x^2} + {y^2}$.सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का

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$2$

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(C) दिया गया समीकरण: $\ln \left( {(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} \right) = {x^2} + {y^2}$.सबसे पहले,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{1}{(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} \cdot \left( {(e - 1){e^{xy}} \cdot \left( y + x \frac{dy}{dx} \right) + 2x} \right) = 2x + 2y \frac{dy}{dx}$.अब,बिंदु $(x, y) = (1, 0)$ को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:$x = 1, y = 0$ के लिए,लघुगणक के अंदर का पद $(e - 1){e^0} + 1^2 = e - 1 + 1 = e$ है।अतः,$\ln(e) = 1^2 + 0^2 = 1$,जो संगत है।अवकलित समीकरण में $(1, 0)$ रखने पर:$\frac{1}{e} \cdot \left( {(e - 1){e^0} \cdot \left( 0 + 1 \cdot \frac{dy}{dx} \right) + 2(1)} \right) = 2(1) + 2(0) \cdot \frac{dy}{dx}$.$\frac{1}{e} \cdot \left( {(e - 1) \frac{dy}{dx} + 2} \right) = 2$.$(e - 1) \frac{dy}{dx} + 2 = 2e$.$(e - 1) \frac{dy}{dx} = 2e - 2$.$(e - 1) \frac{dy}{dx} = 2(e - 1)$.अतः,$\left. \frac{dy}{dx} \right|_{(1,0)} = 2$.

यदि $\ln \left( {(e - 1){e^{xy}} + {x^2}} \right) = {x^2} + {y^2}$ है,तो $\left. {\frac{{dy}}{{dx}}} \right|_{(1,0)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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